問題
「PはQであるための[※]である。」
[※]の部分には以下のどれかが入ります。
①十分条件
②必要条件
③必要十分条件
④十分条件でも必要条件でもない
このような問題における条件とは、問題文中の何を指しているか考えなさい。
～出題の意図～
①形式的に覚えてしまうだけの高校生が多いため。
②具体的なイメージをもち、なにを考えるべきなのかを考察してもらいたい。
③「同値」と言う言葉の意味を正確に理解してもらう。
～解くための準備～
「PはQであるための[※]である。」
という問題を考える方法は次のようにするのが基本
(i) PならばQという命題は真か偽か？
真であれば
PはQであるための十分条件である。
QはPであるための必要条件である。
偽であれば
PはQであるための十分条件でない。
QはPであるための必要条件でない。
(ii) QならばPという命題は真か偽か？
真であれば
QはPであるための十分条件である。
PはQであるための必要条件である。
偽であれば
QはPであるための十分条件でない。
PはQであるための必要条件でない。
～解答～
ポイントとなるのは問題文が「PはQであるための…」と出題されていることである。
これはPがどのような条件であるかを問われている。
(i) PならばQという命題は真か偽か？
真であれば
PはQであるための十分条件である。
(ii) QならばPという命題は真か偽か？
真であれば
PはQであるための必要条件である。
つまりPについてだけ考えれば次の結果が得られる。
PならばQが真のとき→"Pは"十分条件
QならばPが真のとき→"Pは"必要条件
PならばQが真→十分条件
QならばPが真→必要条件
と単に覚えてしまうと十分条件とは？必要条件とは？と考えるときに混乱を招くこととなります。確実に抑えておきましょう。
ちなみに…
数学の授業で「同値」という言葉を使うことがありますが、これはある二つの条件P,Qにおいて
PであることはQであるための必要十分条件
となるときに使います。
つまりPが成り立てばQが成り立ち
Qが成り立てばPが成り立つ
高校生のうちは深く触れることも少ないかも知れませんが重要なことなのでしっかり抑えましょう。