問題
２次方程式
ax2+bx+c=0
の解の差を求めよ。
ただし、計算結果の差が正となるよう考えなさい。
～出題の意図～
①一般的な形のままでの計算に慣れる。
②x2の係数が正なのか負なのかによって解の大小関係を考察する。
③平面上ではどのような意味となるのかを考え想像力とイメージをつける。
～解くための準備～
表記を簡単にするために判別式の記号Ｄを用いて２次方程式の解を次のように表します。
x=(-b±√Ｄ)/2a
また大小関係についての考察をするために２つの解をそれぞれα，βと置きます。
α=(-b+√Ｄ)/2a
β=(-b-√Ｄ)/2a
大小関係を考えましょう。
(i) a>0のとき
-b+√Ｄ と -b-√Ｄの大小関係は
-b+√Ｄ>-b-√Ｄ
今、2a>0より
(-b+√Ｄ)/2a>(-b-√Ｄ)/2a
となりα>βである。
(ii) a<0のとき
-b+√Ｄ と -b-√Ｄの大小関係は
-b+√Ｄ>-b-√Ｄ
今、2a<0より
(-b+√Ｄ)/2a<(-b-√Ｄ)/2a
となりα<βである。
～解答～
(i) a>0のとき
α>βなので差が正になるには
α-β
=(-b+√Ｄ)/2a-(-b-√Ｄ)/2a
=√Ｄ/a
(ii) a<0のとき
α<βなので差が正になるには
β-α
=(-b-√Ｄ)/2a-(-b+√Ｄ)/2a
=-√Ｄ/a
(ii)の解答のマイナスの位置を
√Ｄ/(-a)
とすることを考えましょう。
すると、
a>0のときにはa
a<0のときには-a
となっていると考えられるので分母のaについては|a|で置き換えられることがわかります。
以上より √Ｄ/|a|
この結果は平面上でどのような意味を持つのかを考えましょう。
２次関数
y=ax2+bx+c
がx軸と異なる２点で交わるとしましょう。
このときy=0となるx座標は２次方程式
ax2+bx+c=0
の解となります。問題ではこの２点の距離を求めたこととなります。
ちなみによくセンター試験などでは
「放物線が切り取るx軸の長さ」
という表現で問われます。√Ｄ/|a|を覚えておけば簡単な計算だけで解くことが出来ます。